题目描述
在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007
输入描述
题目保证输入的数组中没有的相同的数字 数据范围： 对于%50的数据,size<=10^4 \ 对于%75的数据,size<=10^5
对于%100的数据,size<=2*10^5
实例1
input:
1,2,3,4,5,6,7,0
output:
7
解题思路
- 常规思路
- 我们的第一反应是顺序扫描整个数组。每扫描到一个数组的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较，因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。
- 利用归并排序
- 数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不拿ta和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是O(n^2)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。
- (a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组；
- (b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组；
- (c) 把长度为1的子数组 合并、排序并统计逆序对 ；
- (d) 把长度为2的子数组合并、排序，并统计逆序对；
- 在上图（a）和（b）中，我们先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5，因此（7,5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对（6,4）。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组 排序 如上图（c）所示， 以免在以后的统计过程中再重复统计。
接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。
- 我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数，如下图（a）和（c）所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对，如图b所示。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中，确保 辅助数组（记为copy） 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后，把对应的指针向前移动一位，接下来进行下一轮比较。
- 过程：先把数组分割成子数组，先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉，我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。
- 数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不拿ta和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是O(n^2)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。
class Solution {
public:
int result = 0;
int InversePairs(vector<int> data) {
int len = data.size();
vector<int> temp(len);
MergeSort(data, temp, 0, len-1);
return result;
}
void MergeSort(vector<int>& data, vector<int>& temp, int begin, int end)
{
if (begin < end)
{
int mid = (end - begin) / 2 + begin;
MergeSort(data, temp, begin, mid);
MergeSort(data, temp, mid+1, end);
MergeArray(data, temp, begin, mid, end);
}
}
void MergeArray(vector<int>& data, vector<int>& temp, int begin, int mid, int end)
{
int i = begin;
int j = mid + 1;
int k = 0;
while (i <= mid && j <= end)
{
if (data[i] < data[j])
{
temp[k++] = data[i++];
}
// 若左半部分当前元素大于右半部分当前元素
// 则左半部分当前元素后面的每个值都大于它
else
{
result += (mid - i + 1);
result %= 1000000007;
temp[k++] = data[j++];
}
}
while (i <= mid)
{
temp[k++] = data[i++];
}
while (j <= end)
{
temp[k++] = data[j++];
}
for (i = 0; i < k; i++)
{
data[begin+i] = temp[i];
}
}
};
class Solution {
public:
int InversePairs(vector<int> data) {
if(data.size() == 0){
return 0;
}
// 排序的辅助数组
vector<int> copy(data);
return InversePairsCore(data, copy, 0, data.size() - 1) % 1000000007;
}
long InversePairsCore(vector<int>& data, vector<int>& copy, int begin, int end){
// 如果指向相同位置，则没有逆序对
if(begin == end){
copy[begin] = data[end];
return 0;
}
// 求中点
int mid = (end + begin) >> 1;
// 使data左半段有序，并返回左半段逆序对的数目
long leftCount = InversePairsCore(copy, data, begin, mid);
// 使data右半段有序，并返回右半段逆序对的数目
long rightCount = InversePairsCore(copy, data, mid + 1, end);
int i = mid; // i初始化为前半段最后一个数字的下标
int j = end; // j初始化为后半段最后一个数字的下标
int indexCopy = end; // 辅助数组复制的数组的最后一个数字的下标
long count = 0;
while(i >= begin && j >= mid + 1){
if(data[i] > data[j]){
count += j - mid;
copy[indexCopy] = data[i];
i--;
indexCopy--;
}else{
copy[indexCopy] = data[j];
j--;
indexCopy--;
}
}
for(; i>= begin; i--){
copy[indexCopy] = data[i];
indexCopy--;
}
for(; j >= mid + 1; j--){
copy[indexCopy] = data[j];
indexCopy--;
}
return leftCount + rightCount + count;
}
};
